Question

16．如圖，Q為正方形ABCD的CD邊的中點，P為CD上一點，且∠BAP=2∠QAD．求證：AP=PC+BC．

Answer 1

分析 作∠BAP的平分線交BC于M，作MN⊥AP，垂足為N，連接MP，由AAS證明△ABM≌△ANM，得出MB=MN，AB=AN=BC，再由AAS證明△ABM≌△ADQ，得出DQ=BM，證出MN=MC，由HL證明Rt△PMN≌Rt△PMC，得出PN=PC，即可得出結論．

解答 解：作∠BAP的平分線交BC于M，作MN⊥AP，垂足為N，連接MP，如圖所示：
∵AM是∠BAP的平分線，∠BAP=2∠QAD，
∴∠BAM=∠MAP=∠QAD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=90°，
在△ABM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠MNA=90°}\\{∠BAM=∠MAP}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ANM（AAS），
∴MB=MN，AB=AN=BC，
在△ABM和△ADQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠QAD}\\{∠B=∠D=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADQ（AAS），
∴DQ=BM，
∵Q為正方形ABCD的CD邊的中點，
∴BM=MC，
∴MN=MC，
在Rt△PMN和Rt△PMC中，$\left\{\begin{array}{l}{MN=MC}\\{PM=PM}\end{array}\right.$，
∴Rt△PMN≌Rt△PMC（HL），
∴PN=PC，
∴AP=PC+BC．

點評 本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的性質等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．