Question

15．定義：如果一條直線能夠將一個封閉圖形的周長和面積平分，那么就把這條直線稱作這個封閉圖形的等分線．
（1）請在如下的三個圖形中，分別畫出各圖形的一條等分線．

（2）請在圖中畫一條直線l，使它即是矩形的等分線，也是圓的等分線．

（3）如圖，在 Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，點P是邊AB上的動點，問是否存在過點P的等分線？若存在，求出AP的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓中過圓心畫一條直線，平行四邊形中過對稱中心畫一條直線，等腰三角形中作底邊的垂直平分線即可；
（2）過矩形對角線交點和圓心畫一條直線即可；
（3）設AP=x，PQ為二分線，則Q在BC邊上，BP=3-x，CQ=6-4-x=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，過點Q作QE⊥AB于E，利用相似三角形的性質得出QE=$\frac{4}{5}（x+3）$，再根據S_△PBQ=3，得到$\frac{1}{2}$（3-x）•$\frac{4}{5}（x+3）$=3，進而得到x的值．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）如圖所示：


（3）存在過點P的等分線，

理由：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=5，
∴△ABC的周長為12，面積為6，
設AP=x，PQ為二分線，則Q在BC邊上，BP=3-x，CQ=6-4-x=2-x，BQ=5-（2-x）=x+3，
過點Q作QE⊥AB于E，則QE=$\frac{4}{5}（x+3）$，
∵S_△PBQ=3，
∴$\frac{1}{2}$（3-x）•$\frac{4}{5}（x+3）$=3，
∴x=$\frac{1}{2}\sqrt{6}$．
∴AP=$\frac{1}{2}\sqrt{6}$．

點評 此題屬于四邊形綜合題，主要考查了中心對稱圖形以及相似三角形的性質等知識的綜合應用，根據圓、平行四邊形是中心對稱圖形以及等腰三角形是軸對稱圖形進行判斷是解題關鍵．