Question

如圖，在直角坐標平面內，O為原點，拋物線經過點A（6，0），且頂點B（m，6）在直線上．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）如在線段OB上有一點C，滿足，在x軸上有一點D（10，0），連接DC，且直線DC與y軸交于點E．
①求直線DC的解析式；
②如點M是直線DC上的一個動點，在x軸上方的平面內有另一點N，且以O、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點N的坐標．
 

Answer 1

（1）3，；（2）①；②（-5，）或（4，8）或.

試題分析：（1）先根據拋物線的頂點B（m，6）在直線上可求出m的值，再用待定系數發即可求出此拋物線的解析式.
（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根據平行線分線段成比例定理即可得出CH的長，進而求出C點坐標，再根據D點坐標用待定系數法即可求出直線DC解析式.
②根據菱形的性質即可求出符合條件的N點坐標．
（1）∵頂點B（m，6）在直線上，∴m="3." ∴B（3，6）.
把A、B兩點坐標代入拋物線的解析式得，，解得.
∴拋物線的解析式為：.
（2）①如圖1，作CH⊥OA，BG⊥OA，
∴CH∥BG，∴△OCH∽△OBG. ∴.
∵OC=2CB，∴，即CH="4." ∴點C的坐標為（2，4）.
∵D（10，0），∴根據題意，解得：.
∴直線DC解析式.

②如圖2：∵四邊形ENOM是菱形，∴OS=ES=OE=. ∴NK=.
∵ON∥DE，∴tan∠NOK=tan∠EDO=.∴OK=5.∴N₁（-5，）.

如圖3：∵EM⊥OB，∴ON=2OC.
∵點C的坐標為（2，4），∴N₂（4，8）.

③如圖4：∵直線DC解析式，∴E（0，5）.
設M（x，），
∵四邊形ENOM是菱形，∴EM=OE=5，即，解得x=.∴M.
∴可設N（，y），則，解得y=或y=（舍去）.∴N₃.

綜上所述，點N的坐標為（-5，）或（4，8）或.