Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊長OA、OC分別為12cm、6cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，且18a+c=0．

（1）求拋物線的解析式．
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以1cm/s的速度向終點B移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以2cm/s的速度向終點C移動．
①移動開始后第t秒時，設△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍．
②當S取得最大值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣12；
(2)①S=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②當t=3時，S取最大值為9,點R坐標為（3，﹣18），理由見解析．

試題分析：（1）把點A代入解析式求出c和a，最后根據拋物線的對稱軸求出b，即可求出最后結果．
（2）①本題需根據題意列出S與t的關系式，再整理即可求出結果．
②本題需分三種情況：當點R在BQ的左邊，且在PB下方時；當點R在BQ的左邊，且在PB上方時；當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，然后分別代入拋物線的解析式中，即可求出結果．
試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由題意知點A（0，﹣12），
所以c=﹣12，
又18a+c=0，
，
∵AB∥OC，且AB=6，
∴拋物線的對稱軸是x=，
∴b=﹣4，
所以拋物線的解析式為y=x²﹣4x﹣12；
（2）①S=·2t(6﹣t)=﹣t²+6t=﹣(t﹣3)²+9，（0＜t＜6），
②當t=3時，S取最大值為9．
這時點P的坐標（3，﹣12），
點Q坐標（6，﹣6），
若以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形，有如下三種情況：
（Ⅰ）當點R在BQ的左邊，且在PB下方時，點R的坐標（3，﹣18），將（3，﹣18）代入拋物線的解析式中，滿足解析式，所以存在，點R的坐標就是（3，﹣18），
（Ⅱ）當點R在BQ的左邊，且在PB上方時，點R的坐標（3，﹣6），將（3，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．
（Ⅲ）當點R在BQ的右邊，且在PB上方時，點R的坐標（9，﹣6），將（9，﹣6）代入拋物線的解析式中，不滿足解析式，所以點R不滿足條件．
綜上所述，點R坐標為（3，﹣18）．