Question

20．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與y軸交于點C（0，-4），與x軸交于點A、B，且B點的坐標為（2，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是AB上的一個動點，過點P作PE∥AC交BC于點E，連接CP，求△PCE面積最大時P點的坐標；
（3）在（2）的條件下，若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，當△OMD為等腰三角形時，連接MP、ME，把△MPE沿著PE翻折，點M的對應點為點N，直接寫出點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）把B點和C點坐標分別代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；
（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；
（3）易知D（-2，0），接著利用待定系數求出直線AC的解析式為y=-x-4，再根據直線PE與直線BC的解析式求得點E的坐標為（1，-2）．求M點分類討論：①當MD=OD時，求得M的坐標為（-2，-2）；所以ME∥x軸，則∠PEM=45°，由翻折得∠NEM=90°，所以NE∥y軸，可得N（1，1）；②當DM=OM時，求得M的坐標為（-1，-3），又可證得△MPE≌△BPE，所以N與B重合，N點坐標為（2，0）；③OD=OM時，等腰△OMD不存在．

解答 解：（1）根據題意得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{2+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以該拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+x-4；

（2）令y=0，即$\frac{1}{2}$x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2，
∴A（-4，0），S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=12
設P點坐標為（x，0），則PB=2-x．
∵PE∥BC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△PBE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PB}{AB}$）²，即$\frac{{S}_{△PBE}}{12}$=（$\frac{2-x}{6}$）²，
化簡得：S_△PBE=$\frac{1}{3}$（2-x）²．
S_△PCE=S_△PCB-S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB•OC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$×（2-x）×4-$\frac{1}{3}$（2-x）²
=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x+1）²+3
∴當x=-1時，S_△PCE的最大值為3．

（3）由（2）已知A（-4，0），
∵點D為0A中點，
∴D（-2，0），
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-4，0）、C（0，-4）分別代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-4．
∵PE∥AC，所以可設直線PE的解析式為y=-x+a，
將P（-1，0）代入y=-x-a得a=-1，
所以直線PE的解析式為y=-x-1．
設直線BC的解析式為y=kx+a′，
將B（2，0）、C（0，-4）代入y=kx+a′得$\left\{\begin{array}{l}{2k+a′=0}\\{a′=-4}\end{array}\right.$，
解得k=2，a′=-4．
所以直線BC的解析式為y=2x-4．
由2x-4=-x-1得x=1，將x=1代入y=2x-4得y=-2，
∴E點坐標為（1，-2）．
①當MD=OD時，如圖1：
∵AD=MD=AD，OA=OC，∠DAM=∠OAC，
∴△ADM∽△AOC，
∴∠ADM=∠AOC=90°，即DM⊥x軸，
∴M的橫坐標為-2，將x=-2代入y=-x-4，得y=-2．
所以此時M的坐標為（-2，-2）；
∵M和E點縱坐標相等，
∴ME∥x軸，
∴∠PEM=45°．
由翻折得∠ENM=2∠PEM=90°，即NE∥y軸，
∴EN=ME=3，
∵E（1，-2），
∴N（1，1）．
②當DM=OM時，過點M作MG⊥x軸交于點，如圖2：
易知DG=OG=1，即G點與P點重合，M的橫坐標為-1，
將x=-1代入y=-x-4，得y=-3．
∴M（-1，-3）．
∵ME=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（-3+2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，EB=$\sqrt{（1-2）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴ME=EB，
∵PB=3，PM=3，即PB=PM，
又∵PE=PE，
∴△BPE≌△MPE，
∴∠BEP=∠MEP，
∴點N與點B重合，
∴N（2，0）；
③當OD=OM時，
設點O到AC的最短距離為h，則OA•OC=h•AC
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{4×4}{4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵h＞OD，
∴OD≠OM．此時等腰△OMD不存在．
綜上所述，N點的坐標分別為（1，1）或（2，0）．

點評 本題屬于二次函數的綜合應用．考查了待定系數法求一次函數與二次函數的解析式，等腰三角形的判定，圖形翻折的性質，相似三角形的判定與性質等知識．具有一定的綜合性與難度，解答本題時要注意方程思想、數形結合思想和分類討論思想的應用．