Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為點E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=4$\sqrt{3}$，BE=2．
（1）求AD的長；
（2）求證：四邊形FADC是菱形；
（3）求證：FC是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AF為圓O的切線，得到AF垂直于AB，再由AB垂直于CD，得到AF與CD平行，根據FC與AD平行，得到四邊形ADCF為平行四邊形，在直角三角形COE中，設OC=r，則OE=r-2，利用垂徑定理求出CE的長，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，由OA+OE求出AE的長，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的長；
（2）由（1）得AD=CD，易證得四邊形FADC是平行四邊形，繼而證得四邊形FADC是菱形；
（3）首先連接OF，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．

解答 解：（1）連接OC，
∵AF為圓O的切線，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E為CD中點，即CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
∵FC∥AD，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∴FC=AD，AF=CD
在Rt△OCE中，設OC=OB=r，則OE=OB-EB=r-2，
根據勾股定理得：OC²=CE²+OE²，即r²=（2$\sqrt{3}$）²+（r-2）²，
解得：r=4，
∴AE=AO+OE=4+2=6，
在Rt△ADE中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，

（2）∵AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，CD=4$\sqrt{3}$，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切線，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四邊形FADC是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴平行四邊形FADC是菱形；

（3）連接OF，AC，
∵四邊形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，
即∠OCF=∠OAF=90°，
即OC⊥FC，
∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線．

點評 此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．