Question

如圖，在平面直角坐標系中，兩個一次函數y=x，y=的圖象相交于點A，動點E從O點出發，沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，作EF∥y軸與直線BC交于點F，以EF為一邊向x軸負方向作正方形EFMN，設正方形EFMN與△AOC的重疊部分的面積為S.

（1）求點A的坐標；

（2）求過A、B、O三點的拋物線的頂點P的坐標；

（3）當點E在線段OA上運動時，求出S與運動時間t（秒）的函數表達式；

（4）在（3）的條件下，t為何值時，S有最大值，最大值是多少？此時（2）中的拋物線的頂點P是否在直線EF上，請說明理由.

Answer 1

解：（1）依題意得 解得 

∴點A的坐標為(4,4).                 …………………………3分

   （2）直線y=與x軸交點B的坐標為（6，0）.

        設過A、B、O的拋物線的表達式為y=ax²+bx，

        依題意得解得

           =，∴點P坐標（3,）.  ………………6分

  （3）設直線MF、NE與y軸交于點P、Q， 則△OQE是等腰直角三角形.

        ∵OE=1×t= t， ∴EQ=OQ=，∴E（，）.

        ∵EF∥y軸， ∴PF=，=12－.

        ∴EF=PQ=12－－=.

          ①當EF＞QE時， 即＞，解得.

          ∴當時，()=.

          ②當EF≤QE時,即≤，解得 .

           ∴當時，S=EF²=()² . ………………………10分

         （4）當時， =.

          ∴當時，S_最大=12 .

           當時，S_最大=()²=9.

           ∴當時，S_最大=12.               ……………………………11分

           當時，E（2，2），F（2，8），

∵P（3，），∴點P不在直線EF上.     ……………………………12分