Question

如圖，拋物線與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點，過點A作直線AC⊥x軸，交直線于點C；

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求點A關于直線的對稱點的坐標，判定點是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段于點M，是否存在這樣的點P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（1）∵與x軸交于A（5,0）、B（-1,0）兩點，

∴，   解得

∴拋物線的解析式為

（2）過點作⊥x軸于E，AA^/與OC交于點D，

∵點C在直線y=2x上，    ∴C（5，10）

∵點A和關于直線y=2x對稱，

∴OC⊥，=AD.

∵OA=5，AC=10,

∴.

∵,   ∴.∴.

在和Rt中，

∵∠+∠=90°，∠ACD+∠=90°，

∴∠=∠ACD.

又∵∠=∠OAC=90°，

∴∽.

∴即.

∴=4，AE=8.

∴OE=AE－OA=3.

∴點A^/的坐標為（﹣3,4）.

當x=﹣3時，.

所以，點A^/在該拋物線上

（3）存在.

理由：設直線的解析式為y=kx+b,

則，解得

∴直線的解析式為.

設點P的坐標為，則點M為.

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形,只需PM=AC.又點M在點P的上方，

∴ .

   解得（不合題意,舍去）當x=2時，.

∴當點P運動到時，四邊形PACM是平行四邊形.