Question

已知：A（a，y₁）．B（2a，y₂）是反比例函數（k＞0）圖象上的兩點．
（1）比較y₁與y₂的大小關系；
（2）若A、B兩點在一次函數第一象限的圖象上（如圖所示），分別過A、B兩點作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，且S_△OAB=8，求a的值；
（3）在（2）的條件下，如果3m=-4x+24，，求使得m＞n的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據反比例函數的解析式判斷出函數的圖象所在的象限，再根據函數的增減性及a的符號討論y₁與y₂的大小；
（2）先根據A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函數y=（k＞0）的圖象上，找出y₁、y₂之間的關系，再由A、B兩點也在一次函數y=-x+b的圖象上可求出y₁、y₂的表達式，代入從反比例函數所求的y₁、y₂之間的關系可求出b與a之間的關系，再由S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD即可解答；
（3）根據（2）中所求的未知數的值即可求出一次函數及反比例函數的解析表達式及A、B兩點的橫縱坐標，再根據數形結合由兩函數圖象的交點即可解答．
解答：解：（1）∵A、B是反比例函數y=（k＞0）圖象上的兩點，
∴a≠0，
當a＞0時，A、B在第一象限，由a＜2a可知，y₁＞y₂，
同理，a＜0時，y₁＜y₂；

（2）∵A（a，y₁）、B（2a，y₂）在反比例函數y=（k＞0）的圖象上，
∴AC=y₁=，BD=y₂=，
∴y₁=2y₂．
又∵點A（a，y₁）、B（2a，y₂）在一次函數y=-a+b的圖象上，
∴y₁=-a+b，y₂=-a+b，
∴-a+b=2（-a+b），
∴b=4a，
∵S_△AOC+S_梯形ACDB=S_△AOB+S_△BOD，
又∵S_△AOC=S_△BOD，
∴S_梯形ACDB=S_△AOB，
∴[（-a+b）+（-a+b）]•a=8，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2．

（3）由（2）得，一次函數的解析式為y=-x+8，
反比例函數的解析式為：y=，
A、B兩點的橫坐標分別為2、4，
且m=-x+8、n=，
因此使得m＞n的x的取值范圍就是反比例函數的圖象在一次函數圖象下方的點中橫坐標的取值范圍，
從圖象可以看出2＜x＜4或x＜0．
點評：此題綜合考查了一次函數及反比例函數圖象上點的坐標特點，用數形結合的方法求不等式的解集，是一道難度較大的題目．