Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=9S₂，則CD=（ ）

A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

Answer 1

【答案】分析：根據等腰直角三角形的面積公式，和勾股定理進行轉換得出S₁=，S₂，=，S₃=，結合已知條件推出AD²+BC²=9AB²，因為AD²+BC²=（DC-AB）²，所以代入化簡得：CD=4AB，CD=-2AB（不符合題意，舍去），即可答案選D．
解答：解：如圖，作AO∥BC交DC于O點，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，
∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，
∵以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，
∴S₁=AM×MD=AM²，
根據勾股定理得：AM²+MD²=AD²，
∵AM=MD，
∴2AM²=AD²，
∴S₁=，
同理：∵S₂=AN²•，2AN²=AB²，∴S₂=，
同理：∵S₃=BP²•，2BP²=BC²，∴S₃=，
∵S₁+S₃=9S₂
∴，
∴（DC-AB）²=9AB²
∴（DO-3AB）（DO+3AB）=0，
∴DO=3AB，DO=-2AB（不合題意，舍去），
∴CD=DO+OC=3AB+AB=4AB．
故選D．
點評：本題主要考查勾股定理、三角形面積公式、梯形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質等知識點，本題的關鍵在于等量之間的轉換．