Question

（1）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向形外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，如果AB=2010，那么則CD=

 

．

（2）已知a，b是正整數，且滿足2 ( 

15 a

+

15 b

  )也是整數，請寫出所有滿足條件的有序數對（a，b）．

Answer 1

分析：（1）作BE∥AD于E，則四邊形ABED是平行四邊形，得∠BEC=∠ADC，DE=AB=2010，則∠EBC=90°．要求CD的長，只需根據勾股定理求得CE的長．結合等腰直角三角形的面積公式和S₁+S₃=4S₂，即可求解；
（2）根據題意，只需保證

15 a

+

15 b

=2或

1

2

或

3

2

即可．

解答：解：（1）作BE∥AD于E，則四邊形ABED是平行四邊形．
∴∠BEC=∠ADC，DE=AB=2010．
又∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠EBC=90°．
∵S₁+S₃=4S₂，S₂=

1

2

×

1

2

×2010×2010，
∴BE²+BC²=4（S₁+S₃）=2010×2010×4，
∴CE=4020．
∴CD=6030．

（2）（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．

點評：（1）綜合運用了平行四邊形的判定及性質、勾股定理以及等腰直角三角形的性質．
注意：根據等腰直角三角形斜邊上的高也是斜邊上的中線，斜邊上的中線等于斜邊的一半，知等腰直角三角形的面積等于斜邊的平方的一半．
（2）考查了二次根式的化簡．