Question

如圖1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，直線AP交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：DC=CF；
（2）求

AP

PE

的值；
（3）如圖2，連接DE，若AD⊥ED，求證：∠BAE=∠DBE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以得出△ABP≌△FDP，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）連結(jié)BF，由條件可以得出點(diǎn)E是△BDF的重心，由三角形的重心的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)DE交BF于G，可以得出四邊形ABFD是平行四邊形，就有∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，進(jìn)而得出△ADP≌△BFC，由全等三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：（1）AB∥CD，
∴∠ABP=∠FDP，∠BAP=∠DFP
∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，
∴BP=DP．
在△ABP和△FDP中

∠ABP=∠FDP ∠BAP=∠DFP BP=DP

，
∴△ABP≌△FDP（AAS），
∴AB=DF．AP=PF．
∵AB=2CD，
∴DF=2CD．
即DC=CF；

（2）連結(jié)BF
∵P是BD的中點(diǎn)，DC=CF，
∴E是△BDF的重心，
∴

PF

PE

=3．
∵AP=PF，
∴

AP

PE

=3．

（3）延長(zhǎng)DE交BF于G，
∵E是△BDF的重心，
∴BG=GF，
∵AB∥DF，AB=DF，
∴ABFD是平行四邊形，
∴AD∥BF，DP=

1

2

BD，
∵AD⊥ED，
∴DG⊥BF，
∴DB=DF=AB，
∴∠DBF=∠DFB=∠DAB=∠BDA，
∵CF=

1

2

DF，
∴CF=DP．
在△ADP和△BFC中，

AD=BF ∠ADB=∠FBD DP=FC

∴△ADP≌△BFC（SAS），
∴∠DAP=∠FBC，
∴∠DAB-∠DAP=∠DBF-∠FBC，
∴∠BAP=∠DBE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的重心的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．