Question

4．已知：如圖所示，動點P在函數y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）的圖象上運動，PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+1交于點E、F．
（1）求AF•BE的值．
（2）求AF²+BE²的最值．
（3）求證∠EOF=45°．

Answer 1

分析 （1）可設P的坐標為（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐標和M點的坐標都可以a表示，那么BN、NF、BN的長度也可以用a表示，接著F點、E點的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分別用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE；
（2）利用（1）中的結論，結合完全平方公式，可求得答案；
（3）利用（1）中的結論，可證得△BOE∽△AFO，再利用平行線的性質，結合條件可證得結論．

解答 解：
（1）作FG⊥x軸，如圖1，

∵P的坐標為（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標為（0，$\frac{1}{2a}$），M點的坐標為（a，0），
∴BN=1-$\frac{1}{2a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{1}{2a}$，
∴F點的坐標為（1-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
同理可得出E點的坐標為（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{1}{2a}$）²+（$\frac{1}{2a}$）²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$•2a²=1，即AF•BE=1；
（2）由（1）可知AF²+BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²，
∵（$\frac{1}{\sqrt{2}a}$-$\sqrt{2}$a）²≥0，
∴$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²≥2$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}a}•\sqrt{2}a}$，即$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²≥2，
∴AF²+BE²≥2，
∴AF²+BE²的最小值為2；
（3）由（1）可知OB=OA=1，
∴OA•OB=AF•BE，
∴$\frac{OB}{AF}$=$\frac{BE}{AO}$，且∠OAB=∠OBA=45°，
∴△BOE∽△AFO，
∴∠AOF=∠BEO，
如圖2，過E作EH∥x軸，交y軸于點H，

則∠HEO=∠EOA，∠FEH=∠FAO=45°，
∵∠FOA=∠EOF+∠EOA，
∴∠EOF+∠EOA=∠HEO+∠FEH，
∴∠EOF=∠FEH=45°．

點評 本題綜合考查了反比例函數、一次函數、矩形等多個知識點．在（1）中用P點坐標分別表示出BE和AF是解題的關鍵，在（2）中注意完全平方公式的靈活運用，在（3）中證得∠AOF=∠BEO是解題的關鍵．本題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．