Question

11．如圖，將長方形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落在點B′的位置，AB′與CD交于點E．
（1）求證：△AED≌△CEB′；
（2）求證：點E在線段AC的垂直平分線上；
（3）若AB=8，AD=3，求圖中陰影部分的周長22（直接寫出答案）
（4）求EB'的長度，并寫出解題過程．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為矩形及折疊的特性，得到B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，∠B′EC=∠DEA，得到△AED≌△CEB′．
（2））由△AED≌△CEB′，得出EA=EC，所以點E在線段AC的垂直平分線上
（3）陰影部分的周長為AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，即矩形的周長；
（4）設B′E=x，則DE=x，CE=CD-x，根據勾股定理即可得到結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°
∵∠B′EC=∠DEA，
在△AED和△CEB′中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B′ED=∠DEA}\\{∠B′=∠D}\\{B′C=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CEB′（AAS）；
（2）∵△AED≌△CEB′，
∴EA=EC，
∴點E在線段AC的垂直平分線上；

（3）∵△AED≌△CEB′，
∴AE=CE，DE=EB′，
∵將長方形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落在點B′的位置，
∴CB′=BC=AD，
∴陰影部分的周長為AD+DE+EA+EB′+B′C+EC，
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C，
=AD+DC+AB′+B′C，
=3+8+8+3
=22；
故答案為：22；

（4）設B′E=x，
則DE=x，CE=CD-x，
∵B′C²+B′E²=CE²，
∴3²+x²=（8-x）²，
∴x=$\frac{55}{16}$，
∴EB′=$\frac{55}{16}$．

點評 本題主要考查了圖形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，及矩形的性質，勾股定理．熟記翻折前后兩個圖形能夠重合找出相等的角是解題的關鍵．