Question

如圖，在△ABC中，I是△ABC的內心，O是AB邊上一點，⊙O經過B點且與AI相切于I點．若tan∠BAC=，則sin∠C的值為（　　）

A．      B．      C．      D．

Answer 1

B【考點】三角形的內切圓與內心．

【專題】計算題．

【分析】延長AI交BC于D，連結OI，作BH⊥AC于H，如圖，根據內心的性質得∠OBI=∠DBI，則可證明OI∥BD，再根據切線的性質得OI⊥AI，則BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC為等腰三角形，得到AB=AC，接著在Rt△ABH中，利用正切的定義得到tan∠BAH==，于是可設BH=24x，AH=7x，利用勾股定理得到AB=25x，則AC=AB=25x，CH=AC﹣AH=18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理計算出BC=30x，再利用正弦的定義計算sinC的值．

【解答】解：延長AI交BC于D，連結OI，作BH⊥AC于H，如圖，

∵I是△ABC的內心，

∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，

∵OB=OI，

∴∠OBI=∠OIB，

∴∠DBI=∠OIB，

∴OI∥BD，

∵AI為⊙O的切線，

∴OI⊥AI，

∴BD⊥AD，

∵AI平分∠BAC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AB=AC，

在Rt△ABH中，tan∠BAH==，

設BH=24x，AH=7x，

∴AB==25x，

∴AC=AB=25x，

∴CH=AC﹣AH=25x﹣7x=18x，

在Rt△BCH中，BC==30x，

∴sinC===．

故選B．

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了等腰三角形的判定與性質．