Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，作AD⊥CD，垂足為D．

（1）若直線CD與⊙O相切于點C，求證：△ADC∽△ACB；

（2）如果把直線CD向下平行移動，如圖2，直線CD交⊙O于C、G兩點，若題目中的其他條件不變，tan∠DAC=，AB=10，求圓心O到GB的距離OH的長．

　

Answer 1

【考點】切線的性質；相似三角形的判定與性質．

【分析】（1）首先連接OC，由CD切⊙O于C，根據切線的性質，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠CAO，根據圓周角定理求得∠ACB=90°，得出∠ADC=∠ACB，即可證得結論；

（2）由于四邊形ABGC為⊙O的內接四邊形，根據圓的內接四邊形的性質得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，根據tan∠DAC==tan∠GAB=和勾股定理求得AG=8，GB=6，然后求得△ABG∽△OBH，根據相似三角形的性質求得==，即可求得OH=4．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖1，

∵直線CD與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB；

（2）解：如圖2，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AGB=90°，

∵四邊形ABGC是⊙O的內接四邊形，

∴∠ACD=∠B，

∵∠ADC=∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠GAB，

∵tan∠DAC==tan∠GAB=，

設GB=3x，AG=4x，

∵AB=10，

∴（3x）²+（4x）²=10²，

解得x=2，

∴AG=8，GB=6，

∵OH⊥GB，AG⊥GB，

∴OH∥AG，

∴△ABG∽△OBH，

∴==，

∴OH=4．

【點評】此題考查了切線的性質、垂徑定理、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．