Question

5．如圖1，一次函數y=-2x+2的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B，過點B作線段BC⊥AB且BC=AB，直線AC交x軸于點D．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）求點C的坐標，并直接寫出直線AC的函數關系式；
（3）若點P是圖1中直線AC上的一點，連接OP，得到圖2．
請在下面的A，B兩題中任選一題解答，我選擇．
A．當點P的縱坐標為3時，求△AOP的面積；
B．當點P在第二象限，且到x軸，y軸的距離相等時，求△AOP的面積；
（4）若點Q是圖1中坐標平面內不同于點B、點C的一點．
請在下面的A，B兩題中任選一題解答，我選擇
A．當以點B，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，直接寫出點Q的坐標；
B．當以點C，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）過點C作CM⊥x軸于M，由△AOB≌△BMC，推出點C的坐標為（3，1），再利用待定系數法即可解決問題．
（3）A．點P在直線AC上，且點P的縱坐標為3，把y=3代入y=-$\frac{1}{3}$x+2，得x=-3，過點P作PN⊥y軸于點N，推出PN=3，根據S_△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•PN計算即可．
B．點P在直線AC上，設P（x，-$\frac{1}{3}$x+2），因為點P在第二象限，到x軸，y軸距離相等，得-x=-$\frac{1}{3}$x+2，推出PN=3，根據S_△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•NP即可解決問題．
（4）A．如圖3中，以點B，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，點Q有三種情形如圖所示．
B．如圖4中，以點B，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，點Q有三種情形如圖所示．

解答 解：（1）把x=0代入y=-2x+2中，得y=2，
∴點A的坐標為（0，2）．
把y=0代入y=-2x+2，得-2x+2=0，解得x=1，
∴點B的坐標為（1，0）．

（2）如圖1中，過點C作CM⊥x軸于M，

∴∠AOB=∠BMC=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBM=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBM，
在△AOB和△BMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CBM}\\{∠AOB=∠CMB}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BMC，
∴BM=OA=2，CM=OB=1，
∴OM=3，
∴點C的坐標為（3，1），
是直線AC的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+2．

（3）如圖2中，

A．∵點P在直線AC上，且點P的縱坐標為3，
∴把y=3代入y=-$\frac{1}{3}$x+2，得x=-3，
過點P作PN⊥y軸于點N，
∴PN=3，
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•PN=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
B．∵點P在直線AC上，
∴P（x，-$\frac{1}{3}$x+2），
∵點P在第二象限，到x軸，y軸距離相等，
∴-x=-$\frac{1}{3}$x+2，
∴x=-3，
過點P作PN⊥y軸于點N，
∴PN=3，
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$•OA•NP=$\frac{1}{2}$×2×3=3．

（4）A．如圖3中，以點B，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，點Q有三種情形如圖所示，

Q₁（3，-1），Q₂（4，-1），Q₃（4，1）；
B．如圖4中，以點B，D，Q為頂點的三角形與△BCD全等時，點Q有三種情形如圖所示，
Q₁（8，1），Q₂（2，3），Q₃（7，-2）．
（提示過C作CM⊥BD于M，作Q₂N⊥CM于N，易知△BCM≌△CQ₂N，由此即可求出Q₂坐標）

點評 本題考查一次函數綜合題、待定系數法、三角形的面積、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．