Question

【題目】（1）在直角坐標平面內，已知⊙O的半徑為R，點A為⊙O上任意一點，定點B與圓心O的距離為m，線段AB的長度為l．則當m≥R時，l的最大值和最小值依次為　 　，　 　；當m＜R時，l的最大值和最小值依次為　 　，　 　．

（2）如圖，⊙O的半徑為2，點P的“K值”定義如下：若點Q為⊙O上任意一點，線段PQ長度的最大值與最小值之差即為點P的“K值”，記為KP，特別地，當點P，Q重合時，線段PQ的長度為0．

①若點A（6，8），B（﹣1，0），則KA＝　 　，KB＝　 　．

②若直線y＝2x﹣1上存在點P，使，求出點P的橫坐標；

③直線（b＞0）與x軸，y軸分別交于A，B，若線段AB上存在點P，使得，請你直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m+R；m﹣R；R+m；R﹣m；（2）①4；2；②1或﹣；③1≤b≤2．

【解析】

（1）當A、B、O在一條直線上時，AB有最大和最小值，據此分別求解即可；

（2）①先分別求出AO＝10，BO＝1，則KA＝（10+2）﹣（10﹣2）＝4，KB＝（2+1）﹣（2﹣1）＝2；②當點P在圓O外時，KP＝2R＝4，不符合題意；當點P在圓O內時，KP＝2OP＝2，設P（m，2m﹣1），則有m2+（2m﹣1）2＝2，即可求m；③點P在以O為圓心，半徑分別為，圍成的圓環內（含邊界），即線段AB與圖中陰影部分有公共點，當（b＞0）與以O為圓心，為半徑的圓相切時，＝，求得b＝1，當（b＞0）與以O為圓心，為半徑的圓相切時，＝，求得b＝2．從而可得出b的取值范圍．

解：（1）當m≥R時，點B在圓外，

如圖2，當A，B，O三點共線時，AB取得最大，最小值，

當A，B位于圓心O兩側時AB取得最大值，最大值AB=BO+AO =m+R；

當A，B位于圓心O同側時AB取得最小值，最小值AB=BO-AO=m﹣R，

當m＜R時，點B在圓內，如圖2，

同理可得，AB的最大值為R+m，最小為R﹣m，

故答案為：R+m；m﹣R；R+m；R﹣m；

（2）①∵點A（6，8），B（﹣1，0），

∴AO＝10，BO＝1，

∴KA＝（10+2）﹣（10﹣2）＝4，

KB＝（2+1）﹣（2﹣1）＝2，

故答案為4；2；

②當點P在圓O外時，KP＝2R＝4，不符合題意；

當點P在圓O內時，KP＝2OP＝2，

∴OP＝，

∵P在直線y＝2x﹣1上，

設P（m，2m﹣1），

∴m2+（2m﹣1）2＝2，

∴m＝1或m＝﹣，

即點P的橫坐標為1或﹣；

③∵＜4，

∴點P在圓O的內部，

∴點P在以O為圓心，半徑分別為，圍成的圓環內（含邊界），即線段AB與圖中陰影部分有公共點，如圖3，

當（b＞0）與以O為圓心，為半徑的圓相切時，＝，∴b＝1，

當（b＞0）與以O為圓心，為半徑的圓相切時，＝，∴b＝2，

∴b的取值范圍為：1≤b≤2．