Question

【題目】如圖，點M是Rt△ABC的斜邊AB的中點，連接CM，作線段CM的垂直平分線，分別交邊CB和CA的延長線于點D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= ，則DE= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵∠C=90°，tanB= ， 設AC=2k，BC=5k，
∴AB= = k=20，
∴k= ，
∴BC= ，
連接DM，

∵∠C=90°，點M是Rt△ABC的斜邊AB的中點，
∴AM=CM=BM AB=10，
∴∠MCB=∠B，
∵DE是線段CM的垂直平分線，
∴CD=DM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴△CDM∽△CMB，
∴ = ，
∴CD= ，
∵DE垂直平分CM，
∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，
∴∠E=∠NCD，
∴△CDE∽△CDN，
∴ = ，
∵DN= =2，
∴DE= = ．
所以答案是： ．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．