Question

給出銳角△ABC，以AB為直徑的圓與AB邊的高CC′及其延長線交于M，N．以AC為直徑的圓與AC邊的高BB′及其延長線將于P，Q．求證：M，N，P，Q四點共圓．
（第19屆美國數學奧林匹克）

Answer 1

證明：設PQ，MN交于K點，連接AP，AM．
由射影定理，得AM*AM=AC'*AB，AP*AP=AC*AB'，又B、C、B'、C'四點共圓，
由切割線定理，AC'*AB=AC*AB'，
∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直徑的弦性質），
∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圓心為A的圓．
須證MK•KN=PK•KQ，
即證（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′²-KC′²=PB′²-KB′²．①
∵AP=AM（所對弧長相等），
從而有AB′²+PB′²=AC′²+MC′²．
故MC′²-PB′²=AB′²-AC′²
=（AK²-KB′²）-（AK²-KC′²）
=KC′²-KB′²．②
由②即得①，命題得證．