Question

12．如圖已知二次函數y=ax²圖象的頂點為原點，直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與該二次函數的圖象交于A點（8，8），直線與x軸的交點為C，與y軸的交點為B．

（1）求這個二次函數的解析式與B點坐標；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A，B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于D點，與x軸交于點E．設線段PD的長為h，點P的橫坐標為t，求h與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍（圖1）；
（3）在（2）的條件下，連接BD，當動點P在線段AB上移動時，點D也在拋物線上移動，線段BD也繞點B轉動，當BD∥x軸時（圖2），請求出P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由二次函數的圖象過點A（8，8），將其代入函數解析式中即可求得a值，將x=0代入直線方程，即可求得B點坐標；
（2）由P、D橫坐標都為t，將其分別代入二次函數和直線解析式，用t表現出P、D點縱坐標，二者相減即可找到h與t的關系，因為P在線段BA上，由此可找出t的范圍；
（3）BD平行x軸，可知，B、D兩點縱坐標相等，從而求出t值，代入（2）中的P點坐標即可得出結論．

解答 解：（1）∵二次函數y=ax²圖象過點A（8，8），
∴有8=8²a=64a，解得a=$\frac{1}{8}$，
∴這個二次函數的解析式y=$\frac{1}{8}$x²．
∵點B為直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與y軸的交點，
∴當x=0時，y=$\frac{1}{2}$×0+4=4，
∴B點的坐標為（0，4）．
（2）∵P點在線段BA上，
∴P點坐標為（t，$\frac{1}{2}$t+4）（0＜t＜8），
∵D點在二次函數圖象上，且P、D橫坐標相等，
∴D點坐標為（t，$\frac{1}{8}$t²），
PD=h=$\frac{1}{2}$t+4-$\frac{1}{8}$t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{1}{2}$t+4（0＜t＜8）．
（3）∵當BD∥x軸時，B、D兩點縱坐標相等，且B（0，4）
即4=$\frac{1}{8}$t²，
解得t=4$\sqrt{2}$．
∴P點坐標為（4$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了二次函數解析式以及直線與坐標軸的交點問題，解題的關鍵是利用點在直線和二次函數圖象上，找出點的坐標，從而得解．