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12.如圖已知二次函數y=ax2圖象的頂點為原點,直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與該二次函數的圖象交于A點(8,8),直線與x軸的交點為C,與y軸的交點為B.

(1)求這個二次函數的解析式與B點坐標;
(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A,B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于D點,與x軸交于點E.設線段PD的長為h,點P的橫坐標為t,求h與t之間的函數關系式,并寫出自變量t的取值范圍(圖1);
(3)在(2)的條件下,連接BD,當動點P在線段AB上移動時,點D也在拋物線上移動,線段BD也繞點B轉動,當BD∥x軸時(圖2),請求出P點的坐標.

分析 (1)由二次函數的圖象過點A(8,8),將其代入函數解析式中即可求得a值,將x=0代入直線方程,即可求得B點坐標;
(2)由P、D橫坐標都為t,將其分別代入二次函數和直線解析式,用t表現出P、D點縱坐標,二者相減即可找到h與t的關系,因為P在線段BA上,由此可找出t的范圍;
(3)BD平行x軸,可知,B、D兩點縱坐標相等,從而求出t值,代入(2)中的P點坐標即可得出結論.

解答 解:(1)∵二次函數y=ax2圖象過點A(8,8),
∴有8=82a=64a,解得a=$\frac{1}{8}$,
∴這個二次函數的解析式y=$\frac{1}{8}$x2
∵點B為直線y=$\frac{1}{2}$x+4的圖象與y軸的交點,
∴當x=0時,y=$\frac{1}{2}$×0+4=4,
∴B點的坐標為(0,4).
(2)∵P點在線段BA上,
∴P點坐標為(t,$\frac{1}{2}$t+4)(0<t<8),
∵D點在二次函數圖象上,且P、D橫坐標相等,
∴D點坐標為(t,$\frac{1}{8}$t2),
PD=h=$\frac{1}{2}$t+4-$\frac{1}{8}$t2=-$\frac{1}{8}$t2+$\frac{1}{2}$t+4(0<t<8).
(3)∵當BD∥x軸時,B、D兩點縱坐標相等,且B(0,4)
即4=$\frac{1}{8}$t2
解得t=4$\sqrt{2}$.
∴P點坐標為(4$\sqrt{2}$,4+2$\sqrt{2}$).

點評 本題考查了二次函數解析式以及直線與坐標軸的交點問題,解題的關鍵是利用點在直線和二次函數圖象上,找出點的坐標,從而得解.

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