Question

3．如圖，P是正六邊形ABCDEF的BC邊上的一點，過點P作PM∥AB交AF于M，AD于S，作PN∥CD交DE于N，AD于T，點O是AD的中點，OG平分∠MON，則圖中等邊三角形有4個．

Answer 1

分析 連接OE，由△OMA≌△ONE，再證出△GOE≌△NOD，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形．，

解答 解：連接OE，如圖所示：
∵P是正六邊形ABCDEF的BC邊上的一點，PM∥AB，PN∥CD，
∴△AMS、△DNK是等邊三角形，
由（2）得，△OMA≌△ONE
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四邊形AOEF是平行四邊形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GOE=∠DON}&{\;}\\{OE=OD}&{\;}\\{∠ODN=∠OEG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴ON=OG，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等邊三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等邊三角形，
故答案為：4．

點評 本題主要考查了等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是恰當的作出輔助線，根據三角形全等找出相等的線段．