Question

4．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數y=$\frac{2}{x}$上，第二象限內的點B在反比例函數y=$\frac{k}{x}$上，且OA⊥OB，tanA=$\sqrt{2}$，則k的值為-4．

Answer 1

分析 作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D，易證△OBD∽△AOC，則面積的比等于相似比的平方，即tanA的平方，然后根據反比例函數中比例系數k的幾何意義即可求解．

解答 解：如圖，
作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D．
則∠BDO=∠ACO=90°，
則∠BOD+∠OBD=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
∴$\frac{{S}_{△OBD}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{OB}{OA}$）²=（tanA）²=2，
又∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴S_△OBD=2，
∴k=-4．
故答案為：-4．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，以及反比例函數的比例系數k的幾何意義，正確作出輔助線求得兩個三角形的面積的比是關鍵．