Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，則CD=（ ）

A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

Answer 1

【答案】分析：過點B作BM∥AD，根據AB∥CD，求證四邊形ADMB是平行四邊形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求證△MBC為Rt△，再利用勾股定理得出MC²=MB²+BC²，在利用相似三角形面積的比等于相似比的平方求出MC即可．
解答：解：過點B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四邊形ADMB是平行四邊形，
∴AB=DM，AD=BM，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC為Rt△，
∴MC²=MB²+BC²，
∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，
∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，
=，=，
即AD²=，BC²=，
∴MC²=MB²+BC²=AD²+BC²=+==，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴MC²=4AB²，MC=2AB，
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．
故選B．
點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形等知識點，解答此題的關鍵是過點B作BM∥AD，此題的突破點是利用相似三角形的性質求得MC=2AB，此題有一定的拔高難度，屬于難題．