Question

8．已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，過點B的直線BE交直線AC于D，CE⊥BE于E．
（1）當BE平分∠ABC，求證：AB+AD=BC；
（2）BE轉到△ABC外，平分∠ABC的一個外角，請畫出圖形，上述結果是否還成立，若成立請說明理由．

Answer 1

分析 （1過D作DH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性質得出∠HDC=45°=∠ACB，得出DH=CH，由角平分線的性質得出AD=DH，得出AD=CH，由HL證明Rt△ABD≌Rt△BDH，得出AB=BH，即可得出結論；
（2）延長CE交AB的延長線于F，由角平分線和三角形內角和定理得出∠F=∠BCF，由等角對等邊得出BF=BC，證出∠F=∠D，由AAS證明△ACF≌△ABD，得出對應邊相等AF=BD，再由勾股定理即可得出結論．

解答 （1）證明：過D作DH⊥BC于H，如圖1所示：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∴∠HDC=45°=∠ACB，
∴DH=CH，
∵BE平分∠ABC，
∴AD=DH，
∴AD=CH，
在Rt△ABD與Rt△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{AD=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△BDH（HL），
∴AB=BH，
∴BC=BH+CH=AB+AD．
（2）解：如圖2所示：
上述結果不成立；2AB•BC+BC²=AD²；理由如下：
延長CE交AB的延長線于F，
∵BE平分∠ABC的一個外角，
∴∠FBE=∠CBE，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵∠BAD=∠BAC=90°，∠BEC=90°，
∴∠F+∠ACF=90°，∠D+∠ACF=90°，
∴∠F=∠D，
在△ACF和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠D}&{\;}\\{∠CAF=∠BAD=90°}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（AAS），
∴AF=BD，
∵AF=AB+BF，BF=BC，
∴AB+BC=BD，
∵BD²=AB²+AD²，
∴（AB+BC）²=AB²+AD²，
∴2AB•BC+BC²=AD²．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的判定、三角形內角和定理、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要畫出圖形，證明三角形全等和運用勾股定理才能得出結論．