Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，AB=6，BD=2

3

，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

（1）如圖：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直線BC與⊙O的切線，
∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系為相切；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6-r，又BD=2

3

，
在Rt△OBD中，
OD²+BD²=OB²，
即r²+（2

3

）²=（6-r）²，
解得r=2，OB=6-r=4，
∴∠DOB=60°，
∴S_扇形ODE=

60×π×22

360

=

2

3

π，
S_△ODB=

1

2

OD•BD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB-S_扇形ODE=2

3

-

2

3

π．