Question

20．如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象過點A（-1，0）和點C（0，3），對稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數的關系式和頂點坐標；
（2）結合圖象，解答下列問題：
①當-1＜x＜2時，求函數y的取值范圍．
②當y＜3時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點和C點坐標代入y=ax²+bx+c得到兩個方程，再加上對稱軸方程即可得到三元方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線解析式，再把解析式配成頂點式即可得到頂點坐標；
（2）①先分別計算出x為-1和2時的函數值，然后根據二次函數的性質寫出對應的函數值的范圍；
②先計算出函數值為3所對應的自變量的值，然后根據二次函數的性質寫出y＜3時，x的取值范圍．

解答 解：（1）根據題意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函數關系式為y=-x²+2x+3，
因為y=-（x-1）²+4，
所以拋物線的頂點坐標為（1，4）；
（2）①當x=-1時，y=0；x=2時，y=3； 
而拋物線的頂點坐標為（1，4），且開口向下，
所以當-1＜x＜2時，0＜y≤4；
②當y=3時，-x²+2x+3=3，解得x=0或2，
所以當y＜3時，x＜0或x＞2．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數的性質．