Question

6．已知f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n為正整數(shù)），那么f₂₀₁₆化簡后的結果為$\frac{1}{t}$．（結果用t表示）

Answer 1

分析 根據(jù)f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n為正整數(shù)），進行化簡可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，然后根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以得到f₂₀₁₆化簡后的結果，從而可以解答本題．

解答 解：∵f₁=$\frac{1}{1-\frac{1}{t}}$，f₂=$\frac{1}{1-{f}_{1}}$，f₃=$\frac{1}{1-{f}_{2}}$，…，f_n+1=$\frac{1}{1-{f}_{n}}$（n為正整數(shù)），
∴${f}_{1}=\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=\frac{t}{t-1}$，${f}_{2}=\frac{1}{1-{f}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{t}{t-1}}=1-t$，${f}_{3}=\frac{1}{1-（1-t）}=\frac{1}{t}$，${f}_{4}=\frac{1}{1-\frac{1}{t}}=\frac{t}{t-1}$，…，
∴由上可知，三個一循環(huán)，2016÷3=672，
∴f₂₀₁₆=f₃=$\frac{1}{t}$．
故答案為：$\frac{1}{t}$．

點評 本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是通過化簡前幾項發(fā)現(xiàn)這組數(shù)的規(guī)律．