Question

1．如圖：在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y=$\frac{4}{3}x$與一次函數y=-x+7的圖象交于點A．
（1）求點A的坐標；
（2）在y軸上確定點M，使得△AOM是等腰三角形，請直接寫出點M的坐標；
（3）如圖、設x軸上一點P（a，0），過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側），分別交y=$\frac{4}{3}x$和y=-x+7的圖象于點B、C，連接OC，若BC=$\frac{14}{5}$OA，求△ABC的面積及點B、點C的坐標；
（4）在（3）的條件下，設直線y=-x+7交x軸于點D，在直線BC上確定點E，使得△ADE的周長最小，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）聯立正比例函數與一次函數解析式組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，確定出A坐標即可；
（2）利用勾股定理求出OA的長，根據M在y軸上，且△AOM是等腰三角形，如圖1所示，分情況討論，求出M坐標即可；
（3）設出B與C坐標，表示出BC，由已知BC與OA關系，及OA的長求出BC的長，求出a的值，如圖2所示，過A作AQ垂直于BC，求出三角形ABC面積；由a的值確定出B與C坐標即可；
（4）如圖3所示，作出D關于直線BC的對應點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，此時△ADE周長最小，求出此時E坐標即可．

解答 解：（1）聯立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-x+7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，
則點A的坐標為（3，4）；
（2）根據勾股定理得：OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，

如圖1所示，分四種情況考慮：
當OM₁=OA=5時，M₁（0，5）；
當OM₂=OA=5時，M₂（0，-5）；
當AM₃=OA=5時，M₃（0，8）；
當OM₄=AM₄時，M₄（0，$\frac{25}{8}$），
綜上，點M為（0，5）、（0，-5）、（0，8）、（0，$\frac{25}{8}$）；
（3）設點B（a，$\frac{4}{3}$a），C（a，-a+7），
∵BC=$\frac{14}{5}$OA=$\frac{14}{5}$×5=14，
∴$\frac{4}{3}$a-（-a+7）=14，
解得：a=9，
過點A作AQ⊥BC，如圖2所示，

∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AQ=$\frac{1}{2}$×14×（9-3）=42，
當a=9時，$\frac{4}{3}$a=$\frac{4}{3}$×9=12，-a+7=-9+7=-2，
∴點B（9，12）、C（9，-2）；
（4）如圖3所示，作出D關于直線BC的對稱點D′，連接AD′，與直線BC交于點E，連接DE，此時△ADE周長最小，

對于直線y=-x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），
由（3）得到直線BC為直線x=9，
∴D′（11，0），
設直線AD′解析式為y=kx+b，
把A與D′坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{11k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AD′解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$，
令x=9，得到y=1，
則此時點E坐標為（9，1）．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：兩直線的交點，坐標與圖形性質，待定系數法確定一次函數解析式，對稱的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵．