Question

13．已知關于x的函數y=mx²-（2m+3）x+am+b（m、a，b為常數）            
（1）當b=3時，a滿足什么條件時，無論m為何值．函數與x軸始終有交點，并給出證明；
（2）當a=-3、b=1時，無論m為何值，函數始終會經過兩個固定的點，請直接寫出這兩個定點的坐標：（-1，4）和（3，-8）；
（3）當a=-1、b=1時，函數y=mx²-（2m+3）x+am+b與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁≠x₂，當m的值為多少時，A、B兩點之間的距離最小？

Answer 1

分析 （1）由題意△=（2m+3）²-4m（am+3）=4（1-a）m²+9，所以1-a≥0時，△＞0，函數與x軸始終有交點．
（2）當a=-3，b=1時，可得y=mx²-（2m+3）x-3m+1=m（x²-2x-3）-3x+1，由題意x²-2x-3=0，解得x=-1或3，所以無論m為何值，函數始終會經過點（-1，4）和（3，-8）．
（3）當a=-1、b=1時，y=mx²-（2m+3）x-m+1，由題意x₁+x₂=$\frac{2m+3}{m}$，x₁x₂=$\frac{-m+1}{m}$，推出AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m+3}{m}）^{2}-4×\frac{-m+1}{m}}$=$\sqrt{9（\frac{1}{m}）^{2}+\frac{8}{9}（\frac{1}{m}）+8}$=$\sqrt{9（\frac{1}{m}+\frac{4}{9}）^{2}+\frac{56}{9}}$，由此即可利用二次函數的性質解決問題．

解答 解：（1）結論：a≤1時，論m為何值．函數與x軸始終有交點，
∵b=3時，函數y=mx²-（2m+3）x+am+3，
又∵△=（2m+3）²-4m（am+3）=4（1-a）m²+9，
∴1-a≥0時，△＞0，函數與x軸始終有交點．

（2）當a=-3，b=1時，
y=mx²-（2m+3）x-3m+1
=m（x²-2x-3）-3x+1，
由題意x²-2x-3=0，解得x=-1或3，
∴無論m為何值，函數始終會經過點（-1，4）和（3，-8）．
故答案為（-1，4）和（3，-8）．

（3）當a=-1、b=1時，y=mx²-（2m+3）x-m+1，
由題意x₁+x₂=$\frac{2m+3}{m}$，x₁x₂=$\frac{-m+1}{m}$，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{（\frac{2m+3}{m}）^{2}-4×\frac{-m+1}{m}}$
=$\sqrt{9（\frac{1}{m}）^{2}+\frac{8}{9}（\frac{1}{m}）+8}$
=$\sqrt{9（\frac{1}{m}+\frac{4}{9}）^{2}+\frac{56}{9}}$，
∴$\frac{1}{m}$=-$\frac{4}{9}$時，AB的值最小，最小值為$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．
∴m=-$\frac{9}{4}$時，AB的值最小．

點評 本題考查二次函數與x軸的交點、二次函數的最值問題等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會構建二次函數解決最值問題，所以中考常考題型．