Question

18．如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，∠ACO=30°，過點G（0，-6）作GF⊥AC，垂足為F，直線GF分別交AB、OC于點E、D，
（1）直接寫出B、C兩點的坐標；B（6$\sqrt{3}$，6）；C（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）求直線DE的解析式；
（3）判斷三角形AOF形狀，并說明理由；
（4）若點M在直線DE上，平面內是否存在點P，使以O、F、M、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用30度角的性質和勾股定理求得OA以及OC的長度，則C、B的坐標即可得到；
（2）根據三角函數求OD的長，寫出D的坐標，利用待定系數法求直線DE的解析式即可；
（3））△AOF是等邊三角形，理由是如圖1，根據中位線定理得：AE=2OD=4$\sqrt{3}$，利用30度的三角函數求AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，則AD=AF，所以△AOF是等邊三角形；
（4）分當FM是菱形的邊和當OF是對角線、當OF為邊時，三種情況進行討論．利用三角函數即可求得P的坐標．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AC=12，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×12$=6，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵四邊形OABC是矩形，
∴C（6$\sqrt{3}$，0），B（6$\sqrt{3}$，6）；
故答案為：（6$\sqrt{3}$，6），（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）∵G（0，-6），
∴OG=6，
∵GF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴∠GOD=∠DFC=90°，
∵∠ODG=∠FDC，
∴∠OGD=∠ACO=30°，
tan30°=$\frac{OD}{OG}$，
OD=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴D（2$\sqrt{3}$，0），
設直線DE的解析式為：y=kx+b，
把G（0，-6），D（2$\sqrt{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+b=0}\\{b=-60}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線DE的解析式為：y=$\sqrt{3}$x-6；
（3）△AOF是等邊三角形，理由是：
連接OF，如圖1，
Rt△AOC中，∠ACO=30°，
∴∠OAC=60°，
∵AO=OG，OD∥AE，
∴GD=DE，
∴OD是△AGE的中位線，
∴AE=2OD=4$\sqrt{3}$，
∵AB∥OC，
∴∠BAC=∠ACO=30°，
cos30°=$\frac{AF}{AE}$，
AF=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴AD=AF，
∴△AOF是等邊三角形；
（4）∵C的坐標是（6$\sqrt{3}$，0），B的坐標是（6$\sqrt{3}$，6）；
∴A（0，6），
∴設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6\sqrt{3}k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6．
∵直線DE的解析式為y=$\sqrt{3}$x-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6}\\{y=\sqrt{3}x-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$．
F（3$\sqrt{3}$，3），
∴F是線段AC的中點，
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠EDC=90°-30°=60°，
當FM是菱形的邊時，如圖2，OP∥FM，
則∠POC=60°或120°．
當∠POC=60°時，過P作PG⊥y軸，則PG=OP•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，
OG=OP•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3 $\sqrt{3}$，則P的坐標是（3，3 $\sqrt{3}$）；
當∠POC=120°時，與當∠POC=60°時關于原點對稱，則P的坐標是（-3，-3 $\sqrt{3}$）；
當OF是對角線時，如圖3，M、P關于OF對稱，連接MP交OF于H，
∵F的坐標是（3 $\sqrt{3}$，3），
∴∠FOC=∠POF=30°，
在直角△OPH中，OH=$\frac{1}{2}$OF=3，OP=$\frac{OH}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2 $\sqrt{3}$．
作PL⊥y軸于點L，
在直角△OPL中，∠POL=30°，
則PL=$\frac{1}{2}$OP=$\sqrt{3}$，
OL=OP•cos30°=2 $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
故P的坐標是（ $\sqrt{3}$，3），
當OF為邊時，M與G重合，如圖4，這個時候P在第四象限，
此時點P的坐標為：（3 $\sqrt{3}$，-3）．
則P的坐標是：（3 $\sqrt{3}$，-3）或（3，3 $\sqrt{3}$）或（-3，-3 $\sqrt{3}$）或（$\sqrt{3}$，3）．

點評 本題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數定義，勾股定理，線段中點坐標公式，含30度直角三角形的性質，以及菱形的性質，本題對于P的位置的討論是解第四問的關鍵．