Question

如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx．

∴，解得，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x²+x．

 

（2）存在．

設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入求得k=，

∴直線OD解析式為y=x．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，﹣x²+x），

∴MN=|y_M﹣y_N|=|x﹣（﹣x²+x）|=|x²﹣4x|．

由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．

∴|x²﹣4x|=3．

若x²﹣4x=3，整理得：4x²﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；

若x²﹣4x=﹣3，整理得：4x²﹣12x+9=0，解得：x=．

∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或．

 

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=x．

如解答圖所示，

設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．

設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；

設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．

設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），

則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．

設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x﹣4t．

∴E（t，0）．

聯(lián)立y=3x﹣4t與y=x，解得x=t，∴P（t，t）．

過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=t．

∴S=S_△OFQ﹣S_△OEP=OF•FQ﹣OE•PG

=（1+t）（+t）﹣•t•t

=﹣（t﹣1）²+

當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為．

∴S的最大值為．