Question

如圖，反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=4x相交于點C，過直線上點A（2，8）作AB垂直于x軸于點B，交反比例函數圖象于點D，且AD=3BD．

（1）求k的值；

（2）求點C的坐標；

（3）在y軸上是否存在一點P，使點P到C、D兩點距離之和PC+PD最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 

【考點】反比例函數綜合題．

【分析】（1）根據A坐標，以及AD=3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直線y=3x與反比例解析式聯立方程組即可求出點C坐標；

（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于P，則P點即為所求，利用待定系數法求出直線C′D的解析式，進而可得出P點坐標．

【解答】解：（1）∵A（2，8），

∴AB=8，OB=2，

∵AD=3BD，

∴BD=2，

∴D（2，2）

將D坐標代入反比例解析式得：k=4；

 

（2）∵由（1）知，k=4，

∴反比例函數的解析式為y=，

∴，解得x=±1．

∵x＞0，

∴x=1，

∴C（1，4）；

 

（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于P，則P點即為所求，

∵C（1，4），

∴C′（﹣1，4）．

設直線C′D的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵D（2，2），

∴，解得，

∴直線C′D的解析式為y=﹣x+，

∴P（0，）．

【點評】此題考查的是反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．