Question

3．如圖，已知：矩形OABC的頂點A，C分別在x，y軸的正半軸上，O為平面直角坐標系的原點；直線y=x+1分別交x，y軸及矩形OABC的BC邊于E，M，F，且△EOM≌△FCM；過點F的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與AB交于點N．
（1）求k的值；
（2）當x0＜x＜1時，$\frac{k}{x}$＞x+1；
（3）若F為BC中點，求BN的長．

Answer 1

分析 （1）先根據一次函數的解析式求出E、M兩點的坐標，再由△EOM≌△FCM得出OM=OC=1，故可得出F點的坐標，根據點F在雙曲線上即可得出k的值；
（2）利用函數圖象即可直接得出結論；
（3）先求出N點坐標，再由矩形的性質即可得出結論．

解答 解：∵當x=0時，y=1；當y=0時，x=-1
∴OE=OM=1．
∵△EOM≌△FCM，
∴CM=CF=OE=OM=1，
∴F（1，2）．
（1）∵y=$\frac{k}{x}$的圖象過點F（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）由函數圖象可知，當0＜x＜1時，$\frac{k}{x}$＞x+1．
故答案為：0＜x＜1；

（3）∵F為矩形OABC的BC邊中點，
∴B（2，2）
∴N（2，a）
∵N在y=$\frac{2}{x}$上
∴a=$\frac{2}{2}$，
∴a=1，
∴AN=1．
∵AB=OC=2，
∴BN=BA-AN=2-1=1．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數圖象上點的坐標特點、矩形的性質等知識，在解答此題時要注意數形結合思想的靈活運用．