Question

11．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E在線段AB上，DE⊥CE．
①利用尺規作圖，在線段AB上作出所有符合條件的E點（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
②若AD=3，BC=5，AB=8，求△CED的面積．

Answer 1

分析 ①根據直徑所對的圓周角是直角，作輔助圓O，可以得到兩個點E；
②先證明△ADE∽△BE，列比例式$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，設AE=x，BE=8-x，代入得：$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{5}$，解得x=5或3；
分兩種情況：i）當AE=5，BE=3時，如圖2，ii）當AE=5，BE=3時，如圖2，利用勾股定理求DE和CE的長，代入面積公式求得結論．

解答 解：①如圖所示：

作法：（1）作CD的中垂線FG，交CD于O，
（2）以O為圓心，以OD為半徑作圓，交AB于兩點：E₁、E₂，
則E₁、E₂就是符合條件的點；
②∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
由已知：AD=3，BC=5，AB=8，則可設AE=x，BE=8-x，
∴$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{5}$，
x=5或3，
當AE=5，BE=3時，如圖2，
DE=CE=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$×$（\sqrt{34}）^{2}$=17，
當AE=3，BE=5時，如圖3，
DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$DE•CE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$5\sqrt{2}$=15，
∴△CED的面積是17或15．

點評 本題考查了直角梯形、直角三角形邊和角的關系、勾股定理、三角形相似的性質和判定、圓周角定理以及尺規作圖，難度適中，明確直徑所對的圓周角是直角，在直角三角形中常利用同角的余角相等證明兩個角相等，并采用分類討論的思想．