Question

2．如圖所示，兩個(gè)村莊A，B在河CD的兩側(cè)，A，B兩側(cè)到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米，現(xiàn)要在河邊CD上建造一水廠，向A，B兩村送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出最省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用W．

Answer 1

分析 由于鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，是一個(gè)定值，現(xiàn)在要在CD上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，意思是在CD上找一點(diǎn)P，使AP與BP的和最小，設(shè)M是A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，使AP+BP最短就是使MP+BP最短．

解答 解：如圖所示：延長(zhǎng)AC到點(diǎn)M，使CM=AC；連接BM交CD于點(diǎn)P，
點(diǎn)P就是所選擇的位置．
在直角三角形BMN中，
BN=3+1=4，MN=3，
∴MB=$\sqrt{M{N}^{2}+B{N}^{2}}$=5（千米），
∴最短路線AP+BP=MB=5，
最省的鋪設(shè)管道的費(fèi)用為W=5×20000=100000（元）．
答：最省的鋪設(shè)管道的費(fèi)用是10萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了最短路徑問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．