Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$有交點A、B，已知點B（-2，-2），tan∠AOX=4．
（1）求k的值以及拋物線的解析式；
（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標（注：這里E，O，C與A，O，B分別為對應點）．
（3）點P為拋物線上一動點，從O點出發（含O點）沿著拋物線向左運動，已知在此過程中，△ABP的面積S_△ABP恰好有兩次取到值m，請直接寫出m的取值范圍0＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$（P與B重合時規定S_△ABP=0）．

Answer 1

分析 （1）根據B點坐標可以確定K，根據tan∠AOx=4，求出A點坐標，再由A，B兩點坐標，用待定系數法確定a，b．
（2）根據△EOC∽△AOB得到：∠COE₁=∠AOB，根據CO=2OB，∠BOC=90°得到∠AOE₁=90°，OE₁=2OA，可以求出E₁的坐標，再根據對稱性求出E₂點的坐標．
（3）首先畫出滿足條件的點P所在的位置，再確定m的范圍．

解答 解：（1）∵B（-2，-2）在雙曲線上，
∴k=-2×（-2）=4，
∵tan∠AOx=4，
∴可設A（m，4m），
∵A在雙曲線上
∴m-4m=4，
∴m=1，m=-1（舍去），
∴A（1，4），
∵拋物線過點A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（-2）^{2}+b•（-2）=-2}\\{a+b=4}\end{array}\right.$
解得a=1，b=3，
∴k=4，y=x²+3x．
（2）如圖，設拋物線與x軸負半軸的交點為D．
由（1）知，拋物線的解析式是y=x²+3x，
∵AC∥x軸
∴C（-4，4），OC=4$\sqrt{2}$．
又∵OB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=2．
∵∠COD=∠BOD=45°，
∴∠COB=90，
要使得△BOA∽△COE，必須∠BOA=∠COE，則點E在直線CO的兩旁．
①將△BOA繞點O順時針轉90°，得到△B′OA′，此時，點B′（-2，2）是OC的中點，點A′（4，-1），
延長OA′至點E₁，使得OE₁=2OA′，
連接CE₁，此時E₁（8，-2）．
②取點E₁關于直線OC的對稱點E₂（2，-8）．
（3）過點O作直線AB的平行線交拋物線于N，O₁是點O關于直線AB的對稱點，
過O₁作直線AB的平行線交拋物線于M，點K是直線OB下方上的點，且△KAB面積最大，
易求S_△ABO=3，設K（m，m²+3m），
∵直線AB：y=2X+2，過點K作y軸的平行線交直線AB于H，
∴S_△ABK=S_△HKB+S_△KHA=$\frac{1}{2}×3×（2m+2-{m}^{2}-3m）$=-$\frac{3}{2}（m+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，
∴S_{△ABK最大值}=$\frac{27}{8}$，
當點P在拋物線BN（不包括端點）段運動時，在拋物線BM段上總能找到一個點P′，使得S_△PAB=S_△P′AB，此時m的值為O＜m＜3，
在拋物線BM段上方總能找到一個點K′，使得S_△K′AB=S_△KAB，此時m=$\frac{27}{8}$，
綜上所述：O＜m＜3或m=$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了待定系數法求拋物線解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、旋轉與坐標變化、平行線的性質、面積最值問題等重要知識點．第（3）問是本題的難點，其中的要點是通過畫平行線確定點P的位置，再確定m的范圍．