Question

當-1≤x≤2時，求函數y=f（x）=2x²-4ax+a²+2a+2的最小值，并求最小值為-1時，a的所有可能的值．

Answer 1

【答案】分析：先求出拋物線對稱軸x=a，然后分①a≤-1，②-1＜a＜2，③a≥2三種情況，根據二次函數的增減性解答；
然后根據最小值為-1，分別代入求解關于a的一元二次方程即可．
解答：解：對稱軸x=-=-=a，
①a≤-1時，-1≤x≤2范圍內，y隨x的增大而增大，
當x=-1時，y最小，最小值y=2×（-1）²-4a×（-1）+a²+2a+2=a²+6a+4，
②-1＜a＜2時，
當x=a時，有最小值，最小值y=2×a²-4a×a+a²+2a+2=-a²+2a+2，
③a≥2時，-1≤x≤2范圍內，y隨x的增大而減小，
當x=2時，y最小，最小值y=2×2²-4a×2+a²+2a+2=a²-6a+10，
綜上所述，a≤-1時，最小值為a²+6a+4，
-1＜a＜2時，最小值為-a²+2a+2，
a≥2時，最小值為a²-6a+10；
∵最小值為-1，
∴a²+6a+4=-1，整理得a²+6a+5=0，
解得a₁=-1，a₂=-5，
-a²+2a+2=-1，整理得，a²-2a-3=0，
解得a₃=-1，a₄=3，
a²-6a+10=-1，整理得，a²-6a+11=0，
△=（-6）²-4×1×11=-8＜0，方程無解，
綜上所述，a的所有可能值為-1、3、-5．
點評：本題考查了二次函數的最值問題，主要利用了二次函數的增減性，注意根據二次函數的對稱軸分情況討論求解．