Question

如圖，⊙O的半徑為1，圓心在坐標原點，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，b）（b＞0）．
（1）當b為何值時，直線AB與⊙O相離？相切？相交？
（2）當AB與⊙O相切時，求直線AB的解析式？

Answer 1

分析：（1）首先求得相切時的b值，即設AB與⊙O相切于C，連接OC，則OC⊥AB．利用銳角三角函數求得b值，再進一步分情況討論；
（2）根據（1）中求得相切時點B的坐標，運用待定系數法求解．

解答：解：（1）設AB與⊙O相切于C，連接OC，則OC⊥AB．
在Rt△AOC中，∵OC=1，OA=2，
∴sin∠OAC=

1

2

，
∴∠OAC=30°．
∴OB=OA•tan30°=2•

3

3

=

2 3

3

．
∴當b＞

2 3

3

時，直線AB與⊙O相離；
當b=

2 3

3

時，直線AB與⊙O相切；
當0＜b＜

2 3

3

時，直線AB與⊙O相交．

（2）當直線AB與⊙O相切時，點B的坐標為（0，

2 3

3

），
設直線AB的解析式為y=kx+

2 3

3

，
將（-2，0）代入，得0=-2k+

2 3

3

?k=

3

3

．
∴直線AB的解析式為y=

3

3

x+

2 3

3

．

點評：此題考查了直線和圓的位置關系與數量之間的聯系、銳角三角函數以及待定系數法求函數解析式的方法．