Question

（2012•昆山市二模）如圖，已知點A的坐標為（2，4），在點A處有二只螞蟻（忽略其大小），它們同時出發，一只以每秒1個單位的速度垂直向上爬行，另一只同樣以每秒1個單位的速度水平向右爬行，t秒后，它們分別到達B、C處，連接BC．若在x軸上有兩點D、E，滿足DB=OB，EC=OC，則
（1）當t=1秒時，求BC的長度；
（2）證明：無論t為何值，DE=2AC始終成立；
（3）延長BC交x軸于點F，當t的取值范圍是多少時，點F始終在點E的左側？（請直接寫出結果，無需書寫解答過程！）

Answer 1

分析：（1）利用當t=1時，AB=AC=1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出即可；
（2）利用延長BA交x軸于點M，過C作CN⊥x軸，垂足為N，得出D點坐標，進而得出DE=OE-OD=（4+2t）-4=2t=2AC即可得出答案；
（3）利用已知得出△BAC∽△BMF，進而得出若點F始終在點E的左側，則OF＜OE，即6+t＜4+2t即可得出．

解答：解：（1）當t=1時，AB=AC=1，
在Rt△ABC中，
∵BC²=AB²+BC²
BC²=1²+1²
∴BC=

2

，

（2）延長BA交x軸于點M，過C作CN⊥x軸，垂足為N，
∵BO=BD，A（2，4）
∴D（4，0）
在矩形ACNM中，MN=AC=t，
∵EC=OC，CN⊥EO，
∴ON=NE，
∴OE=2ON=2（2+t）=4+2t，
∴DE=OE-OD=（4+2t）-4=2t=2AC，
∴無論t為何值，DE=2AC始終成立；

（3）∵AC∥x軸，
∴△BAC∽△BMF，
∴

AB

MB

=

AC

MF

，
即

t

4+t

=

t

MF

，
解得MF=t+4，
∴OF=OM+MF=2+t+4=6+t，
若點F始終在點E的左側，則OF＜OE，
即6+t＜4+2t，
解得t＞2．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的性質與判定，熟練利用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．