Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE的延長線上，AD⊥BE．
（1）求證：∠DAE+∠ABE=45°；
（2）若BE=6，求AD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據等腰直角三角形的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質進行證明．
（2）由BD⊥AD且BD平分∠ABC 證得AD=FD，再根據∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，進一步求得△AFC≌△BEC，則得AF=BE，從而得到AD=

1

2

BE．

解答： （1）證明：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵BE平分∠ABC交AC于E，
∴∠CBE=∠ABE．
∵AD⊥BE，
∴∠DAE+∠CAB+∠ABE=90°，即∠DAE+∠ABE+45°=90°，
∴∠DAE+∠ABE=45°；

（2）解：如圖，延長AD、BC交于F點，∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，
∴AD=FD，
∵∠FAC+∠AED=90°，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠FAC=∠CBE，
∵在△AFC與△BEC中，

∠FAC=∠CBE AC=BC FCA=∠ECB=90°

，
∴△AFC≌△BEC（ASA），
∴AF=BE，
∴AD=

1

2

BE=3．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，利用角平分線和直角三角形中角之間的關系式，求得三角形的全等，而得到結論．