Question

8．如圖是一塊直角三角形的綠地，量得直角邊BC為6cm，AC為8cm，現在要將原綠地擴充后成三角形，且擴充的部分是以AC為直角邊的直角三角形，求擴充后的等腰三角形綠地的周長．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，構造出等腰三角形，根據等腰三角形及直角三角形的性質利用勾股定理解答．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m，
由勾股定理有：AB=10m，應分以下三種情況：
①如圖1，

當AB=AD=10m時，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周長=10+10+2×6=32（m）．
②如圖2，

當AB=BD=10m時，
∵BC=6m，
∴CD=10-6=4m，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（m），
∴△ABD的周長=10+10+4$\sqrt{5}$=（20+4$\sqrt{5}$）m．
③如圖3，

當AB為底時，設AD=BD=x，則CD=x-6，
∵由勾股定理得：AD²=AC²+CD²=8²+（x-6）²=x²，
解得x=$\frac{25}{3}$．
∴△ABD的周長為：AD+BD+AB=$\frac{25}{3}$+$\frac{25}{3}$+10=$\frac{80}{3}$（m）．
綜上所述，擴充后的等腰三角形綠地的周長為：32m或（20+4$\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

點評 本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，在解答此題時要注意分三種情況討論，不要漏解．