Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于點O，點E是射線AB上一點，點F是直線AD上一點，BE=DF，連接EF交線段BD于點G，交AO于點H．若AB=3，AG=，則線段EH的長為　 　．

Answer 1

或

試題分析：由EF與線段BD相交，可知點E、F位于直線BD的兩側，因此有兩種情形：
①點E在線段AB上，點F在線段AD延長線上，依題意畫出圖形，如圖所示：

過點E作EM⊥AB，交BD于點M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F。
∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE。
∵BE=DF，∴EM=DF。
∵在△EMG與△FDG中，EM=DF，∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F，
∴△EMG≌△FDG（ASA）。
∴EG=FG，即G為EF的中點。
∴EF=2AG=2（直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半）。
設BE=DF=x，則AE=3﹣x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3﹣x）²+（3+x）²=（2）²。
解得x=1，即BE=DF=1。∴AE=2，AF=4。∴tan∠F=。
設EF與CD交于點K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，
∴CK=CD﹣DK=。
∵AB∥CD，∴△AEH≌△CKH，∴。
∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=。
過點H作HN∥AE，交AD于點N，則△ANH為等腰直角三角形，
∴AN=AH=。
∵HN∥AE，∴，即。∴EH=。
②點E在線段AB的延長線上，點F在線段AD上，依題意畫出圖形，如圖所示，

同理可求得：EH=。
綜上所述，線段EH的長為或。