Question

（2013年四川攀枝花4分）如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=BD
其中正確結(jié)論的為　 　（請將所有正確的序號都填上）．

Answer 1

①③④。

∵△ACE是等邊三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC。
∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC。
∵F為AB的中點(diǎn)，∴AB=2AF。∴BC=AF。∴△ABC≌△EFA（SAS）。∴FE=AB。
∴∠AEF=∠BAC=30°。∴EF⊥AC。故①正確。
∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC。
∵F是AB的中點(diǎn)，∴HF=BC。
∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD。故④說法正確。
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°。
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF。
∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°。∴∠BDF=∠AEF。∴△DBF≌△EFA（AAS）。∴AE=DF。
∵FE=AB，∴四邊形ADFE為平行四邊形。
∵AE≠EF，∴四邊形ADFE不是菱形。故②說法不正確。
∵四邊形ADFE為平行四邊形，∴AG=AF。∴AG=AB。
∵AD=AB，∴AD=AG，即AD=4AG。故③說法正確。
綜上所述，正確結(jié)論的為①③④。