Question

如圖1，平面直角坐標系中，點，OC=8，若拋物線平移后經過C，D兩點，得到圖1中的拋物線W．

（1）求拋物線W的表達式及拋物線W與軸另一個交點的坐標；

（2）如圖2，以OA，OC為邊作矩形OABC，連結OB，若矩形OABC從O點出發沿射線OB方向勻速運動，速度為每秒1個單位得到矩形，求當點落在拋物線W上時矩形的運動時間；

（3）在（2）的條件下，如圖3，矩形從O點出發的同時，點P從出發沿矩形的邊以每秒個單位的速度勻速運動，當點P到達時，矩形和點P同時停止運動，設運動時間為秒．

①請用含的代數式表示點P的坐標；

②已知：點P在邊上運動時所經過的路徑是一條線段，求點P在邊上運動多少秒時，點D到CP的距離最大．

Answer 1

（1），6，0）；（2）；（3）①∴當時，，當時，；②．

【解析】

試題分析：（1）先得到C的坐標，再把D、C的坐標代入平移后的解析式即可，令y=0，可以得到和x軸的另一交點的坐標；

（2）經過t秒后，點的坐標為：，將代入，即可求出落在拋物線上的時間；

（3）① 設，分兩種情況討論：(I)當時，即點P在邊上，(II)當時，即點P在邊上（不包含點），

②當點在運動時，，可以求出點P所經過的路徑所在函數解析式，還可以求出直線解析式為：，得到DC∥AP，從而有△DCP面積為定值．當CP取得最小值時，點D到CP的距離最大，即當CP⊥AP時，CP取得最小值．

試題解析：（1）依題意得： ，，∴拋物線的解析式為：，另一交點為（6，0）；

（2）依題意：在運動過程中，經過t秒后，點的坐標為：，將代入，舍去負值得：，經過秒落在拋物線上；

（3）① 設，

(I)當時，即點P在邊上，，，∴，；

(II)當時，即點P在邊上（不包含點）， ， ，∴，，

綜上所述：∴當時，，當時，，

②當點在運動時，，點P所經過的路徑所在函數解析式為：，又∵直線解析式為：，∴DC∥AP，∴△DCP面積為定值．∴CP取得最小值時，點D到CP的距離最大，如圖，當CP⊥AP時，CP取得最小值，過點P作PM⊥y軸于點M，∴∠PMC=90°，∵，∴，，∵∠DCO+∠PCM=90°，∠CPM+∠PCM=90°，∴，∴，在Rt△PMC中，∠PMC=90°，∴， ∴，檢驗：，∴經過秒時，點D到CP的距離最大．

考點：二次函數綜合題．