Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F．點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求證：直線PC是⊙O的切線；

（2）若AB=，AD=2，求線段PC的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，證明∠OCE+∠PCB=90°即可；

（2）由平行四邊形的性質得到BC=2，根據垂徑定理得到BE=1，再根據勾股定理得到AE=3，在Rt△OCE中，根據勾股定理得到半徑，最后根據△OCE∽△CPE，得到PC的長．

試題解析：（1）連接OC．∵AD與⊙O相切于點A，∴FA⊥AD．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC，∵FA經過圓心O，∴F是的中點，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF，∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF，∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°，∴OC⊥PC，∵點C在⊙O上，∴直線PC是⊙O的切線；

（2） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=2，∴BE=CE=1，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

AB=，∴AE==3 ，設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3－r， ，在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴，∴ ，解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP =90°，∴△OCE∽△CPE，∴，∴，∴．

考點：1．切線的判定；2．相似三角形的判定與性質；3．垂徑定理．