Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c經過點A（-2，0），C（4，0）兩點，和y軸相交于點B，連接AB、BC．
（1）求拋物線的解析式（關系式）；
（2）在直線BC上方的拋物線上，找一點D，使S_△BCD：S_△ABC=1：4，并求出此時點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據函數圖象經過的兩點的坐標利用待定系數法確定二次函數的解析式即可；
（2）根據S_△ABC利用S_△BCD：S_△ABC=1：4，求得S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=3．設D的坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），作DE⊥x軸于點E，利用S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC即可求得點D的坐標（1，$\frac{9}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx+c經過點A（-2，0），C（4，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×4-2b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）由y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4可知B（0，4），
∵A（-2，0），C（4，0），
∴AC=6，OB=4，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4=12，S_△BCD：S_△ABC=1：4，
∴S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=3．
如圖所示，設在直線BC上方的拋物線上，找一點D的坐標為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），作DE⊥x軸于點E，則
S_△BCD=S_梯形BOED+S_△DCE-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+x+4+4）•x+$\frac{1}{2}$（4-x）（-$\frac{1}{2}$x²+x+4）-$\frac{1}{2}$×4×4=3．
即x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3．
∴點D的坐標為（1，$\frac{9}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的綜合知識，特別是題目中涉及到的將點的坐標轉化為線段的長更是解決二次函數知識的常用方法．