Question

10．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，C為優弧BA上一動點．若OA=15，sin∠C=$\frac{4}{5}$，則S_△PAB的值為（　　）

• A． 108
• B． 150
• C． 300
• D． 192

Answer 1

分析 連接OP、AB，它們相交于點H，如圖，利用切線長定理和切線的性質得到PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，則利用等角的余角相等得∠POA=∠POB，同時可證明OP垂直平分AB，再根據圓周角定理得到∠AOB=2∠C，則∠PAO=∠C，接下來利用三角函數的定義，在Rt△PAO中利用sin∠POA=$\frac{PA}{OP}$=sinC=$\frac{4}{5}$，設PA=4x，OP=5x，則OA=3x，所以3x=15，解得x=5，所以OP=25，在Rt△OAH中利用三角形函數求出AH=12，于是得到OH=9，AB=2AH=24，然后根據三角形面積公式求解．

解答 解：連接OP、AB，它們相交于點H，如圖，
∵PA、PB是⊙O的兩條切線，
∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∠APO=∠BPO，
∴∠POA=∠POB，
而OA=OB，
∴OP垂直平分AB，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠PAO=∠C，
在Rt△PAO中，sin∠POA=$\frac{PA}{OP}$=sinC=$\frac{4}{5}$，
設PA=4x，則OP=5x，
∴OA=3x，
∴3x=15，解得x=5，
∴OP=25，
在Rt△OAH中，∵sin∠AOH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
∴AH=12，
∴OH=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，AB=2AH=24，
∴PH=PO-OH=16，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×24×16=192．
故選D．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了正弦的定義．