Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點(diǎn)D是邊CA延長線的一點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AE的延長線交CA的平行線BF于點(diǎn)F，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)時(shí)，求tan∠AFB的值；

（2）CE•AF的值是否隨線段AD長度的改變而變化？如果不變，求出CE•AF的值；如果變化，請說明理由；

（3）當(dāng)△BGE和△BAF相似時(shí)，求線段AF的長．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；正方形的判定與性質(zhì)；圓的綜合題；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值．

【專題】綜合題．

【分析】（1）過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，如圖1，易證EH是△DBC的中位線及△AHE∽△EHD，設(shè)AH=x，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出x，就可求出tan∠AFB的值；

（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖2，易證四點(diǎn)A、C、B、E共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠BCE=∠BAF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角互補(bǔ)可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，從而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解決問題；

（3）過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，易證四邊形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似可得△BGE與△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由點(diǎn)A、C、B、E共圓可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，則有CM=CH，易證EB=EA，根據(jù)HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，則有BM=AH．設(shè)AH=x，根據(jù)CM=CH可求出x，由此可求出CE的長，再利用（2）中的結(jié)果就可求出AF的值．

【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，如圖1，

則有∠EHA=∠EHD=90°．

∵∠BCD=90°，BE=DE，

∴CE=DE．

∴CH=DH，

∴EH=BC=．

設(shè)AH=x，則DH=CH=x+1．

∵AE⊥BD，

∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．

∵∠AEH+∠EAH=90°，

∴∠EAH=∠DEH，

∴△AHE∽△EHD，

∴=，

∴EH²=AH•DH，

∴（）²=x（x+1），

解得x=（舍負(fù)），

∴tan∠EAH===．

∵BF∥CD，

∴∠AFB=∠EAH，

∴tan∠AFB=；

（2）CE•AF的值不變．

取AB的中點(diǎn)O，連接OC、OE，如圖2，

∵∠BCA=∠BEA=90°，

∴OC=OA=OB=OE，

∴點(diǎn)A、C、B、E共圓，

∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．

∵BF∥CD，

∴∠BFA+∠CAE=180°，

∴∠CBE=∠BFA，

∴△BCE∽△FAB，

∴=，

∴CE•FA=BC•AB．

∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，

∴AB=5，

∴CE•FA=7×5=35；

（3）過點(diǎn)E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，

∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，

∴四邊形EMCH是矩形．

∵△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似，

∴△BGE與△BCE相似，

∴∠EBG=∠ECB．

∵點(diǎn)A、C、B、E共圓，

∴∠ECA=∠EBG，

∴∠ECB=∠ECA，

∴EM=EH，

∴矩形EMCH是正方形，

∴CM=CH．

∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，

∴∠EBA=∠EAB=45°，

∴EB=EA，

∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），

∴BM=AH．

設(shè)AH=x，則BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，

∴7﹣x=1+x，

∴x=3，

∴CH=4．

在Rt△CHE中，

cos∠ECH===，

∴CE=4．

由（2）可得CE•FA=35，

∴AF==．

【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、正方形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，證到△BCE∽△FAB是解決第（2）小題的關(guān)鍵，證出Rt△BME≌Rt△AHE是解決第（3）小題的關(guān)鍵．