Question

D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN，DM，DN分別交BC，CA于點E，F．
（1）當∠MDN繞點D轉動時，求證：DE=DF．
（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連CD，根據等腰直角三角形的性質得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，則∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根據等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根據全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到結論；
（2）由△DCE≌△ADF，則S_△DCE=S_△ADF，于是四邊形DECF的面積=S_△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據三角形的面積公式易求得S_△ACD，從而得到四邊形DECF的面積．
解答：解：（1）連CD，如圖，
∵D為等腰Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△DCE和△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF，
∴S_△DCE=S_△ADF，
∴四邊形DECF的面積=S_△ACD，
而AB=2，
∴CD=DA=1，
∴四邊形DECF的面積=S_△ACD=CD•DA=．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．